February 20, 2017

평균, 분산, 그리고 표준편차

이산확률변수 \(X = x_1, x_2, \cdots, x_n\) 일 때, 각 확률 \(P = p_1, p_2, \cdots, p_n\)의 합은 \(\displaystyle\sum_{i=0}^n p_i = 1\) 이 된다. 이산확률변수의 평균(기대값)은 \(E(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^n x_ip_i\)로 정의된다. 보통 통계에서는 mean 이라고 하며 우리가 아는 그 평균이다. 가령, 10, 20, 30의 평균을 구해라 이러면 각 변수의 확률은 1/3이 되니까, \(\frac{10 + 20 + 30}{3}\)과 같이 식이 간소화 된다. 분산은 각 변수에 mean 값을 뺀 제곱에 확률 값을 곱한 것의 합으로 정의되는데 \(V(x) = \displaystyle\sum_{i=0}^n (x_i - m)^2p_i\), 값이 작으면 조밀하고 크다면 퍼져 있다라고 이해할 수 있다. 마지막으로 표준편차는 분산에 sqrt를 씌우면 되는데 \(\sigma(x) = \sqrt{\displaystyle\sum_{i=0}^n (x_i - m)^2p_i}\) 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값이 된다.

그러면 예를 들어보자, 웹사이트 방문자 모집단 체류 시간을 모아서 2d plotting 하면 분포를 눈으로 볼 수 있겠고 (이것만 보더라도 알 수 있는게 많음), 평균, 분산, 표준편차를 구하면 어떤 사용자가 이질적인 성향을 보이는지 등을 추적 할 수 있게 된다.

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